Fondamenti della meccanica atomica
Teorica. Egli considerò l'atomo di numero atomico Z come costituito da un nucleo praticamente puntiforme, nel quale è concentrata la quasi totalità della
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Come centro del pacchetto si definisce il baricentro di |f|2, cioè il punto le cui coordinate x, y, z sono date da
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punto di coordinate : potremo allora dire che, come la posizione del fotone è indeterminata nello spazio x, y, z, e la sua densità di probabilità nei vari
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conformemente alle (94'). Similmente si potrebbe ragionare riguardo alla coordinata z ed al rispettivo impulso (disponendo altrimenti la camera
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ed analogamente si potrebbe ragionare per x e z.
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dove C è una qualsiasi costante (rispetto ad x, y , z). Abbiamo così trovato la distribuzione spaziale dell'indice di rifrazione (che esso fosse
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Si osservi che questa deve essere una identità rispetto ad x, y, z, e che, d'altra parte, x, y, z vi figurano solo attraverso la U: dovrà dunque
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Consideriamo ora la (x, y, z, t) più generale possibile. Fissato un valore di t, p. es. t = O, la potrà essere sviluppata in serie mediante le
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deve variare: si avrà dunque un isotopo della sostanza primitiva. Questo processo avviene effettivamente in certi casi: p. es. il radio D (A 210, Z = 82
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, rappresentano le componenti del momento elettrico. . Se p. es.la radiazione emessa corrisponde a quella di un oscillatore lineare parallelo all'asse z, e
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difatti l'equazione diviene allora (dividendola tutta per X Y Z)
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Riprendiamo l'equazione (131') cui soddisfa la u (x, y, z) e scriviamola esplicitando il e ponendovi U = 0.
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qualunque siano x, y, z dovrà aversi
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si vede subito che, affinchè sia per e per x, (qualunque siano y, z, t), deve essere , con intero; e similmente per e : quindi
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In particolare, se le coordinate q sono le ordinarie coordinate cartesiane x, y, z di un punto, i corrispondenti momenti sono le componenti
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(e analogamente per le componenti Y e Z).
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dello sviluppo di Y e Z analogo a (349). In particolare, se per qualcuno dei gruppi di valori si annullano tutti e tre i coefficienti A, B, C, manca
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b) Rotatore. - Consideriamo un rotatore contenente delle cariche elettriche , poste a distanza dall'asse: prendendo come asse z l'asse di rotazione
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Siccome poi sono evidentemente sempre nulle le componenti Y e Z del momento elettrico, la luce emessa nel salto quantico risulta sempre polarizzata
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Passiamo ora alla definizione di una funzione di più osservabili X, Y, Z, ... (relative allo stesso istante). Se queste sono compatibili tra loro, il
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Nel caso che invece X, Y, Z,... non siano compatibili tra loro, questo procedimento evidentemente non è più applicabile. Tuttavia, data una funzione
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Risulta poi evidente che la osservabile F così definita è compatibile con ciascuna delle osservabili date X, Y, Z...
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Data ora una funzione di più variabili F (x, y, z,...) sviluppabile in serie di potenze, si può sempre scrivere ciascun termine della serie in forma
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Si osservi che questa definizione, se X, Y, Z,... sono compatibili tra loro, non è in contrasto con quella data sopra per una funzione di più
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coordinate, la densità di probabilità di trovare i valori x, y, z è data da cioè, in linguaggio geometrico, dal quadrato del modulo della proiezione del
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Poichè la U non contiene , l'operatore si spezza nella somma di uno , contenente solo , l'altro, , che contiene solo x, y, z:
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dx'ffi y(x', y, z, t) 12 dydz,
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corrispondenti a una particella di dati y e z (caso unidimensionale, v. § 36, p. II) e quindi, per il principio di sovrapposizione, è la probabilità che la
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funzione di x, ossia supponendo fissati y e z) si ottiene
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(2) Per esempio, se si misura la x di una particella senza determinare contemporaneamente y e z (o e ),il risultato della misura non basta a
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x, y, z rispettivamente, e ricerchiamo anzitutto gli operatori ad esse corrispondenti.
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l'asse z per polo, si ha
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(dove indica una somma fatta cambiando x successivamente in y e z). Ora, tenendo presente il significato degli operatori , si vede che
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per la sua carica, la quale, anzichè essere e come nell'atomo di idrogeno, è Ze nell'elemento di numero atomico Z: essi si designano collettivamente
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Se, in particolare, la direzione n fosse normale all'asse z, le due probabilità risulterebbero uguali.
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Se ora supponiamo il campo magnetico diretto secondo l'asse z, e risolviamo il sistema (249) (determinando la costante di normalizzazione in modo che
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Nel primo caso si ha dunque , vale a dire lo spin è diretto con certezza nel verso dell'asse z, nel secondo caso e lo spin è diretto con certezza nel
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Se si fosse supposto invece lo spin antiparallelo all'asse z, cioè , si sarebbe giunti a una conclusione analoga, ma il momento magnetico sarebbe
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z non è Mz, ma Nz e che il termine Sz rappresenta un momento d'impulso intrinseco dell'elettrone, la cui proiezione sull'asse z è sempre .
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in prima approssimazione), consideriamo il caso in cui la forza che agisce sull'elettrone ha momento nullo rispetto all'asse z, come avviene p. es
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e cioè che l'osservabile è un integrale primo, come si era annunciato. Analogo ragionamento si potrebbe fare per le componenti y e z: se ne conclude
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all'asse z, le due con indice pari allo spin antiparallelo all'asse z. Nell'approssimazione non relativistica, come si è visto, e si possono trascurare
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in cui lo spin è parallelo all'asse z, la II invece al caso in cui lo spin è antiparallelo all'asse z: la soluzione più generale, che si ottiene
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Metteremo ora le equazioni diDirac in un'altra forma che, trattando simmetricamente la variabile t e le x, y, z, si presta sopratutto per
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In questo caso sono piccole rispetto a B (supposto ); e, ritenendole trascurabili, la soluzione I corrisponde allo spin parallelo all'asse z, la II
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La fig. 7 rappresenta le prime tre orbite quantiche: la più interna ha (nel caso dell'idrogeno, Z=1) il raggio
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dove la funzione sferica è stata indicata (l) Tralasciamo, per semplicità di notazione, di scrivere gli indici della finzione sferica Z: si noti che
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(l) Tralasciamo, per semplicità di notazione, di scrivere gli indici della finzione sferica Z: si noti che essi saranno in genere diversi per le
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Per interpretare i due tipi di soluzione così trovati, ricordiamo (v. § 53) che il momento angolare totale rispetto all'asse z corrisponde
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Questo non è altro che l'integrale di scambio definito al § precedente, fatto però tenendo conto solo delle autofunzioni in x, y, z, senza i fattori
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Accademia della crusca
